This thesis aims at research in the field of combinatorial optimization. Problems within this field often posses special structures allowing them to be decomposed into more easily solved subproblems, which can be exploited in solution methods. These structures appear frequently in applications. We contribute with both re-search on the development of decomposition principles and on applications. The thesis consists of an introduction and three papers. 

In Paper I, we develop a Lagrangian meta-heuristic principle, which is founded on a primal-dual global optimality condition for discrete and non-convex optimization problems. This condition characterizes (near-)optimal solutions in terms of near-optimality and near-complementarity measures for Lagrangian relaxed solutions. The meta-heuristic principle amounts to constructing a weighted combination of these measures, thus creating a parametric auxiliary objective function (which is a close relative to a Lagrangian function), and embedding a Lagrangian heuristic in a search procedure in the space of the weight parameters. We illustrate and assess the Lagrangian meta-heuristic principle by applying it to the generalized assignment problem and to the set covering problem. Our computational experience shows that the meta-heuristic extension of a standard Lagrangian heuristic principle can significantly improve upon the solution quality. 

In Paper II, we study the duality gap for set covering problems. Such problems sometimes have large duality gaps, which make them computationally challenging. The duality gap is dissected with the purpose of understanding its relationship to problem characteristics, such as problem shape and density. The means for doing this is the above-mentioned optimality condition, which is used to decompose the duality gap into terms describing near-optimality in a Lagrangian relaxation and near-complementarity in the relaxed constraints. We analyse these terms for numerous problem instances, including some large real-life instances, and conclude that when the duality gap is large, the near-complementarity term is typically large and the near-optimality term small. The large violation of complementarity is due to extensive over-coverage. Our observations have implications for the design of solution methods, especially for the design of core problems. 

In Paper III, we study a bi-objective covering problem stemming from a real-world application concerning the design of camera surveillance systems for large-scale outdoor areas. It is prohibitively costly to surveil the entire area, and therefore relevant to be able to present a decision-maker with trade-offs between total cost and the portion of the area that is surveilled. The problem is stated as a set covering problem with two objectives, describing cost and portion of covering constraints that are fulfilled, respectively. Finding the Pareto frontier for these objectives is very computationally demanding and we therefore develop a method for finding a good approximate frontier in a reasonable computing time. The method is based on the ε−constraint reformulation, an established heuristic for set covering problems, and subgradient optimization. 

Denna avhandling behandlar lösningsmetoder för stora och komplexa kombinatoriska optimeringsproblem. Sådana problem har ofta speciella strukturer som gör att de kan dekomponeras i en uppsättning mindre delproblem, vilket kan utnyttjas för konstruktion av effektiva lösningsmetoder. Avhandlingen omfattar både grundforskning inom utvecklingen av dekompositionsprinciper för kombinatorisk optimering och forskning på tillämpningar inom detta område. Avhandlingen består av en introduktion och tre artiklar. 

I den första artikeln utvecklar vi en “Lagrange-meta-heuristik-princip”. Principen bygger på primal-duala globala optimalitetsvillkor för diskreta och icke-konvexa optimeringsproblem. Dessa optimalitetsvillkor beskriver (när)optimala lösningar i termer av när-optimalitet och när-komplementaritet för Lagrange-relaxerade lösningar. Den meta-heuristiska principen bygger på en ihopviktning av dessa storheter vilket skapar en parametrisk hjälpmålfunktion, som har stora likheter med en Lagrange-funktion, varefter en traditionell Lagrange-heuristik används för olika värden på viktparametrarna, vilka avsöks med en meta-heuristik. Vi illustrerar och utvärderar denna meta-heuristiska princip genom att tillämpa den på det generaliserade tillordningsproblemet och övertäckningsproblemet, vilka båda är välkända och svårlösta kombinatoriska optimeringsproblem. Våra beräkningsresultat visar att denna meta-heuristiska utvidgning av en vanlig Lagrange-heuristik kan förbättra lösningskvaliteten avsevärt. 

I den andra artikeln studerar vi egenskaper hos övertäckningsproblem. Denna typ av optimeringsproblem har ibland stora dual-gap, vilket gör dem beräkningskrävande. Dual-gapet analyseras därför med syfte att förstå dess relation till problemegenskaper, såsom problemstorlek och täthet. Medlet för att göra detta är de ovan nämnda primal-duala globala optimalitetsvillkoren för diskreta och icke-konvexa optimeringsproblem. Dessa delar upp dual-gapet i två termer, som är när-optimalitet i en Lagrange-relaxation och när-komplementaritet i de relaxerade bivillkoren, och vi analyserar dessa termer för ett stort antal probleminstanser, däribland några storskaliga praktiska problem. Vi drar slutsatsen att när dualgapet är stort är vanligen den när-komplementära termen stor och den när-optimala termen liten. Vidare obseveras att när den när-komplementära termen är stor så beror det på en stor överflödig övertäckning. Denna förståelse för problemets inneboende egenskaper går att använda vid utformningen av lösningsmetoder för övertäckningsproblem, och speciellt för konstruktion av så kallade kärnproblem. 

I den tredje artikeln studeras tvåmålsproblem som uppstår vid utformningen av ett kameraövervakningssystem för stora områden utomhus. Det är i denna tillämpning alltför kostsamt att övervaka hela området och problemet modelleras därför som ett övertäckningsproblem med två mål, där ett mål beskriver totalkostnaden och ett mål beskriver hur stor del av området som övervakas. Man önskar därefter kunna skapa flera lösningar som har olika avvägningar mellan total kostnad och hur stor del av området som övervakas. Detta är dock mycket beräkningskrävande och vi utvecklar därför en metod för att hitta bra approximationer av sådana lösningar inom rimlig beräkningstid.