We present an elementary proof of a well-known theorem of Cheeger which states that if a metric-measure space X supports a p-Poincaré inequality, then the N^1,p(X) Sobolev space is reflexive and separable whenever p ∈ (1, ∞). We also prove separability of the space when p=1. Our proof is based on a straightforward construction of an equivalent norm on N^1,p(X), p ∈ [1, ∞), that is uniformly convex when p ∈ (1, ∞). Finally, we explicitly construct a functional that is pointwise comparable to the minimal p-weak upper gradient, when p ∈ (1, ∞).

Esitämme alkeellisen todistuksen tunnetulle Cheegerin lauseelle, jonka mukaan p-Poincarén epäyhtälön toteuttavan metrisen mitta-avaruuden X Sobolevin avaruudet N^1,p(X) ovat refleksiivisiä ja separoituvia kaikilla p ∈ (1,∞). Osoitamme separoituvuuden myös kun p=1. Todistuksemme perustuu kaikilla p ∈ [1,∞) suoraviivaiseen tapaan rakentaa avaruudelle N^1,p(X) yhtäpitävä normi, joka on tasaisesti konveksi, kun p ∈ (1,∞). Lopuksi rakennamme eksplisiittisesti funktionaalin, joka on pisteittäin verrannollinen minimaaliseen p-heikkoon ylägradienttiin, kun p ∈ (1,∞).