liu.seSearch for publications in DiVA
Change search
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • oxford
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
Diskret krökning, en jämförelse
Linköping University, Department of Mathematics. Linköping University, The Institute of Technology.
2012 (Swedish)Independent thesis Basic level (degree of Bachelor), 10,5 credits / 16 HE creditsStudent thesisAlternative title
Discrete curvature, a comparison (English)
Abstract [sv]

I detta kandidatarbete undersöker och jämför vi två olika metoder för att approximera gauss- och medelkrökningen hos en yta i rummet som är given som en mängd av punkter. Det är viktigt att försöka få en bra analogi mellan diskret krökning och analytisk krökning då man ofta startar med en mängd punkter i de praktiska fallen, som t ex i tillverkningsindustrin, igenkänning av objekt (inscannade bilder) och datorgrafik. Givet dessa punkter och en bra approximation av gauss- och medelkrökningen kan man få mer information om ytans geometri och beteende.

För att kunna förstå dessa begrepp och metoder/algoritmer så behandlas först den bakomliggande teorin och sedan metoderna.

Den första metoden är att återge ytan med hjälp av Bézierytor, vilka vi kan utföra geometriska operationer på utan problem och även få fram gauss- och medelkrökningen.

Den andra metoden kommer från artikeln ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' av Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder och Alan H. Barr. Deras approximationer av krökningarna kräver en triangulering av ytan, vilket de inte ger någon algoritm för. De tittar på ett område runt varje punkt och approximerar krökningarna genom detta område, även Gauss-Bonnets sats används för approximering av gausskrökningen.

Mina simuleringar visar att Bézierytornas approximationer av gauss- och medelkrökningar är konvergenta och att alla värden ligger relativt nära varandra. Artikelns algoritm fungerar bra för gauss- och medelkrökning men deras algoritm beror väldigt mycket på trianguleringen vilket gör att man behöver ha krav på den triangulerade ytan, vilket i sig är ett svårt problem att lösa.

Abstract [en]

In this thesis we analyze and compare two different methods for approximating the Gauss and mean curvature on a surface, which is given as a set of points. It is important to find a method that agrees well with the analytic Gauss and mean curvatures and guarantees robust estimations. There is a great interest in Gauss and mean curvature since these two curvatures give information about the local geometry of the surface around the point at which these curvatures are calculated.

The thesis begins with a short overview of differential theory and then the methods are explained and described. The reason for this is to give the reader an understanding of the theory before explaining the methods.

The first method is called Bézier surfaces, which interpolates the given points. These surfaces are differentiable which makes it possible to approximate the Gauss and mean curvature, and are therefore very well suited for our problem.

The second method comes from the research article ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' by Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder and Alan H. Barr. Their algorithm requires a triangulated surface, which itself is a hard problem to solve (at least if one has requirements on the triangulation). Their approximations of the Gauss and mean curvatures use a well chosen area around the point, and the Gauss curvature also makes use of the Gauss-Bonnet theorem.

My simulations show that Bézier surfaces approximate both Gauss and mean curvature well, and the approximations seem to converge to the analytic value when the information gets better. The articles algorithm also works well for approximating both curvatures, though this method seems to depend somewhat on the triangulation. This gives some requirements on the triangulation and will therefore be a harder problem to solve. The approximations do not converge when given a triangulation with obtuse triangles, though it shows signs to do so.

Place, publisher, year, edition, pages
2012. , 77 p.
Keyword [sv]
Bézier, Bézierkurva, Bézieryta, Diskret krökning, Diskret geometri, Fundamentalformer, Principalkrökning, Normalkrökning, Gausskrökning, Medelkrökning, Gauss-Bonnet, Ytor, Differentialgeometri, Triangulering
National Category
Mathematics Geometry Discrete Mathematics
Identifiers
URN: urn:nbn:se:liu:diva-78109ISRN: LiTH-MAT-EX--2012/05--SEOAI: oai:DiVA.org:liu-78109DiVA: diva2:531472
Subject / course
Mathematics
Uppsok
Physics, Chemistry, Mathematics
Supervisors
Examiners
Available from: 2012-06-08 Created: 2012-06-07 Last updated: 2012-06-08Bibliographically approved

Open Access in DiVA

fulltext(769 kB)922 downloads
File information
File name FULLTEXT01.pdfFile size 769 kBChecksum SHA-512
562e36613c5cd0e9bf78965ec55e1219fc0dac9416b2d89d7ca2a5fce9e684fa296aadf3913a964e44090c3e44726a3941d7fcb1d9e30fb752e5dcf4aaba075b
Type fulltextMimetype application/pdf

Search in DiVA

By author/editor
Karlsson, Patrik
By organisation
Department of MathematicsThe Institute of Technology
MathematicsGeometryDiscrete Mathematics

Search outside of DiVA

GoogleGoogle Scholar
Total: 922 downloads
The number of downloads is the sum of all downloads of full texts. It may include eg previous versions that are now no longer available

urn-nbn

Altmetric score

urn-nbn
Total: 493 hits
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • oxford
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf