Elliptic curves are the basis for Elliptic Curve Cryptography (ECC) that utilise points on a curve for its public and private keys. A special kind of addition, point addition, adds two points on the curve to get a third point on the same curve. In order for this to be cryptographically useful the addition takes place over a finite field. Elliptic Curve Cryptography has various uses, maybe most notably in the use of blockchains. ECC has the advantage of offering higher security for shorter keys compared to for example RSA. To motivate the existence of this point relation we explore algebraic curves, points and lines at infinity as well as intersections between curves.

Elliptiska kurvor ligger till grund för Elliptisk-kurv-kryptografi, ECC (Elliptic Curve Cryptography), som använder sig av punkter på en kurva till sina publika och privata nycklar. En särskild typ av addition, punktaddition, adderar två punkter på kurvan för att få en tredje punkt på samma kurva. För att det ska vara kryptografiskt användbart sker additionen över ändliga kroppar. Elliptisk-kurv-kryptografi har flera tillämpningar, där det kanske mest uppmärksammade är i blockkedjor. ECC har fördelen av att erbjuda högre säkerhet med kortare nycklar jämfört med exempelvis RSA. För att säkerställa existensen av punktadditionen undersöker vi algebraiska kurvor, oändlighetspunkter och -linjer och skärningar mellan kurvor.