We study periodicity and twisted periodicity of the trivial extension algebra T(A)T(A) of a finite-dimensional algebra AA. We show that (twisted) periodicity of T(A)T(A) is equivalent to AA being (twisted) fractionally Calabi-Yau of finite global dimension. We also extend this result to a large class of self-injective orbit algebras. As a consequence, the results give a partial answer to the periodicity conjecture of Erdmann-Skowroński, which expects the classes of periodic and twisted periodic algebras to coincide. On the practical side, it allows us to construct a large number of new examples of periodic algebras and fractionally Calabi-Yau algebras. We also establish a connection between periodicity and cluster tilting theory, by showing that twisted periodicity of T(A)T(A) is equivalent to the dd-representation-finiteness of the rr-fold trivial extension algebra Tr(A)Tr(A) for some r,d≥1r,d≥1. This answers a question by Darpö and Iyama.

As applications of our results, we give answers to some other open questions. We construct periodic symmetric algebras of wild representation type with arbitrary large minimal period, answering a question by Skowroński. We also show that the class of twisted fractionally Calabi-Yau algebras is closed under derived equivalence, answering a question by Herschend and Iyama.

Nous étudions la périodicité et la périodicité tordue de l'extension triviale T(A)T(A) d'une algèbre de dimension finie. Nos montrons que l'extension triviale d'une algèbre est périodique (tordue) si et seulement si cette algèbre est  Calabi-Yau fractionnaire (tordue) de dimension globale finie. Nous étendons également ce résultat à une large classe d'algèbres d'orbites auto-injectives. Nous en déduisons une réponse partielle à la conjecture de périodicité d'Erdmann-Skowroński qui prédit que les classes d'algèbres périodiques et périodiques tordues coïncident. De manière concrète, cela permet de construire de nombreux nouveaux exemples d'algèbres périodiques et d'algèbres Calabi-Yau fractionnaires. Nous établissons également un lien entre périodicité et  théorie de l'amas-basculement en montrant que la périodicité tordue de l'extension triviale T(A)T(A)  d'une algèbre AA est équivalente à l'existence d'entiers rr et dd pour lesquels l'extension triviale rr-pli\'{e}e Tr(A)Tr(A) est de type dd-représentation finie, répondant ainsi à une question de Darpö et Iyama.

Nos résultats permettent également de répondre à d'autres questions ouvertes : nous construisons des algèbres périodiques symétriques de type de représentation sauvage de période minimale arbitrairement grande, ce qui répond à une question de Skowroński  et  nous montrons que la classe des algèbres Calabi-Yau fractionnaires tordues est fermée sous équivalence dérivée, ce qui répond à une question de Herschend et Iyama.